TITIK KRITIS TURUNAN FUNGSI
- Dapatkan link
- Aplikasi Lainnya
Titik Kritis Turunan Fungsi
Maksimum dan Minimum
Dalam hidup ini, kita sering menghadapi masalah guna mendapatkan jalan terbaik untuk melakukan sesuatu. Sebagai contoh, seorang petani ingin memilih kombinasi hasil panen yang dapat menghasilkan keuntungan terbesar. Seorang dokter akan menentukan dosis obat yang terkecil untuk menyembuhkan suatu penyakit. Seorang kepala pabrik akan menekan sekecil mungkin biaya pendistribusian produkny.
Andai kita mengetahui fungsi f dan domain (daerah asal) S. Seperti gambar 1. Tugas kita yang pertama adalah menentukan apakah f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap bahwa nilai-nilai tersebut ada kita ingin mengetahui lebih lanjut di mana dalam S nilai-nilai itu ada.
Definisi
Andaikan S, daerah asal f, menentukan titik c.kita katakan bahwa:
i.f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c)>f(x) untuk semua x di s.
ii.f(c) adalah nilai minimum f pada s jika f(c)iii.f(c) adalah nilai ekstrim f pada s jika ia adalah nilai maksimum atau minimum.
Maksimum dan Minimum Lokal
Kita ingat kembali bahwa nilai maksimum suatu fungsi f pada himpunan S adalah nilai f terbesar yang dicapai pada keseluruhan himpunan S .Kadang-kadang diacu sebagai nilai maksimum global atau absolut dari f . Jadi, untuk fungsi f dengan daerah asal S = [a,b] yang grafiknya disket dalam gambar 2, f(a) adalah nilai maksimum global dan f (c) kita sebut nilasi maksimum lokal atau relatif.
Tentu saja nilai maksimum global otomatis juga nilai maksiomum lokal. Hal itu berarti bahwa nilai maksimum global hanyalah yang terbesar diantara nilai-nilai maksimum lokal. Dan juga, nilai minimum global adalah yang terkecil diantara nilai- nilai minimum lokal.
Definisi :
Andaikan S daerah asal,f memuat titik c. Kita katakana bahwa:
1.f(c) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a.b) yang memuat c sedemikian sehiungga f(c) adalah nilai maksimum local pada (a.b) S ;
2. f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a.b) yang memuat c sehingga f(c) adalah nilai minimum lokal pada (a.b) S ;
3.f(c) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.
Teorema A
(uji turunan Pertama untuk Ekstrim local). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.
1.Jika f ‘(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) dan f’(x)<>
2.Jika f ‘(x) <> 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f’(c) adalah nilai minimum lokal f
3.Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihjak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.
Teorema B
(Uji Tureunan kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ danf’’ pada setiap titik dalam setiap selang terbuka (a,b ) yang memuat c dan andaikan f’(c) = 0
(i) Jika f” (c) <>(ii) Jika f” (c) > 0,f(c) adalah nialai minimum local f
Kemonotonan dan Kececukangan
Definisi :
Misalkan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakana bahwa:
(i) f adalah naik pada I jika untuk setiap paqsang bilangan x1 dan x2 dalam I,
x1<>(ii) f adalah turun padad I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,
x1 > x2 f(x1) > f (x2)
(iii) f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.
Teorema A
(Teorema Kemonotonan). Misalkan f kontinu pada selang I dan dap[at dideferensialkan pada setiap tititk dalam dari I.
(i) Jika f ‘(x) > 0 untuk semua tititk dalam x dari I, maka f naik pada I
(ii) Jika f ‘(x) <>Definisi:
Misalkan f terdeferensial pada selang terbuka I (a, b). Jika f naik pada I, f ‘ (dan grafiknya ) cekung keatas. Sedankan, jika f ‘ turun pada I, f cekung kebawah pada I.
Teorema B
(Teorema Kecekungan). Misalkan f terdeferensialkan dua kali pada selang terbuka (a,b).Maka diperoleh:
(i) Jika f ” (x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) maka f cekung keatas pada (a,b)
(ii) Jika f ” (x) <> 4.4. Penerapan Masalah-masalah Maksimum dan Minimum
Dalam subbab ini, kita akan membahas perhatian pada masalah maksimum minimum. Ketika kita menghadaqpimasalah seperti ini, ada langkah yang sangat penting yaitu kita harus menentukan besaran yang dimaksimumkan atau diminimumkan. Besaran ini akan menjadi variable tak terbatas dalam menyelesaikan masalah itu.
Variabel tak terbatas ini harus dinyatakan sebagai variable bebas, yang mengontrol nilai- nilai variable tak bebasnya. Jika domain dari nilai-nilai variable tak bebasnyua adalah interval tertutup, maka kita bias memprosesnya dengan menggunakan metode maksimum-minimum interval tertutup. Langkah- langkah menyalesaikannya adalah sebagai berikut :
1. Carilah besaran yang dimaksimumkam atau diminimumkan. Besaran ini seharusnya dinyatakan dengan suatu kata atau frase dan label(huruf) yang merupakan variable tak bebas. Variabel ini tergantung pada suatu yang akan menjadi variable bebas. Kita menotasikannya sama dengan x.
2. Menyatakan Variabel tak bebas sebagai funsi dari variable bebas.Gunakan informasi dalam masalah unhtuk menuliskan variable tak bebas sebagai fungsi variable bebas (x).
3. Menerapkan kalkulus untuk mencari titik kritis. Menghitung turunan f’ dari fungsi f yang diperoleh dalam langkah 2. Gunakan turunan untuk mendapat titik kritis
f’(x) = 0 dan f’(x) tidak ada
4. Identifikassi titk ekstrim. Evaluasi nilai f disetiap titik kritis dalam domainnya dan kedua titik ujungnya. Nilai-nilai yang diperoleh menentuikan maksimum mutlak dan minimum mutlak.
5. Menjawab pertanyaan dalam masalah. Dengan kata lain, interpretasikan hasil-hasil yang diperoleh. Jawaban dari maslah semula bias merupakan suatu yang lain dari nilai terbesar atau terkecil dari f . Berikan jawaban yang tepat untuk pertanyaan yang ditanyakan sebelumnya.
4.5. Penerapan Ekonomik
Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untuk ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembangkan sangat khusus. Sekali kita mempelajari kosakata ini, kita akan menemukan bahwa banyak masalah Ekonomi sebenarnya masalah kalkulus biasa yang berbaju baru.
Pandang sebuah Perusahaan Khas, PT.Honda Motor tbk. Untuk Memudahkan anggap bahwa Perusahaan itu menghasilkan dan memasarkan sebuah barang seprti mobil,motor, dsb. Jika perusahaan tersebut menjual x satuan barang tahun ini , PT. Honda akan mampu membebankan harga, p(x) untuk tiap satuan. Kita tunjukan bahwa p tergantung pada x karena bila mana Honda memperbesar keluarannya , kemungkinan Honda akan perlu mengurangi harga tiap satuan agar dapat menjuakl seluruh hasil keluaraanya. Pendapatan total yang dapat diharapkan Honda diberikan oleh R(x) = xp(x),sebanyak satuan kali harga tiap satuan.
Konsep dasar Untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x),yakni selisih antara pendapatan R(x) dan Biaya Produksi C(x).
P(x) = R(x) – C(x) = xp(x) – C(x)
4.6. Limit diketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Konsep “tak-terhingga”, telah mengilhami dan menggoda para matematikawan sejak jaman dahulu.Masalah yang paling dalam dan paradoks besar dari matematika seringkali jalin menjalin dengan pemakaian perkataan ini. Kemajuan matematika sebagian dapat diukur dalam bentuk pemahaman peranan dari ketakhinggaan. Kita telah memakai lambang - lambing dan - dalam notasi untuk selang - selang tertentu.
Definisi:
1. (Limit bila x )..Andaikan f terdefinisi pada [c, ) untuk suatu bilangan c. Kita katakana bahwa Lim f (x) = L jika masing-masing 0,
x
terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga:
x > M f(x) – L <
2. (Limit bila x - ).Andaikan f terdefinisi pada (- ,c] untuk suatu bilangan c. Kita katakana bahwa Lim f (x) = L jika masing-masing 0, terdapat bilangan M x -
yang berpadanan sedemikian sehingga:
x <>
3. (Limit- limit takterhingga). Kita katakana bahwa Lim f (x) = jika untuk tiap bilangan positif M, Berpadanan suatu > 0 sedemikian sehingga
0 <>M
4.7. Penggambaran Grafik Canggih
Kalkulus telah menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik sewcara baik khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat menempatkan titik-titk maksimum local, titik-titk minimum local, dan titik-titik balik, kita dapat menentukan dimana grafik naik atau grafik cekung keatas.
Dalam menggambar grafik fungsi ada beberapa prosedur yang akan sangat membantu,yaitu :
Langkah 1: Buat analisis pendahuluan sebagai berikut
Periksa daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah dibidang yang dikecualikan.
Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau gannjil? )
Cari perpoptongan dengan sumbu-sumbu koordinat
Gunakan turunan pertama untuk mencari titik kritis dan untuk mengetahui tempat – tempat grafik naik dan turun
Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimumlokal
Gunakan turunan kedua untuk untukmengetahui tempat-tempat grafik cekung keatas dan cekung kebawah serta untuk melokasikan titik-titik balik
Cari asimtot-asimtot.
Langkah 2: Gambarkan beberapa titik (termasuk semuatitik kritis dan titik balik).
Langkah 3: Sketsakan Grafik
4.8 Teorema Nilai Rata-rata
Teorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus tidak begitu penting atau mempesona bagi dia sendiri tetapi sering kali melahirkan teorema-teorema yang cukup berarti.
Dalam bahasa geometri, teorema nilai rata–rata mudah dinyatakan dan dipahami.Teorema mengqatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertical pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung titikC sejajar dengan tali busur AB dalam gambar
Teorema A
(Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan ).Jika f kontinu pada selang tertutup[a,b] dan terdeferensialkan pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling se4dikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana
f (b ) – f(a) = f ‘(c)
(b – a )
atau
f(b) – f (a ) = f ’(c)(b – a )
Teorema B
Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a.b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga
F(x) = G (x) + C
untuk semua nilai x dalam (a,b)
1.Carilah nilai maksimum dan minimum!
f(x)= -x2-6x-2;i =(0,4]
penyelesaian : -2x-6
f(0) = -2(0)-6 f(2) = -2(2)-6 f(4) = -2(4)-6
= -6 = -10 = -14
f(1) = -2(1)-6 f(3) = -2(3)-6
= -8 = -12
Jadi nilai maksimumnya ialah (-6) dan nilai minimumnya ialah (-14)
2.Gunakan Teorema kemonotonan untuk mencari di mana fungsi yang diberikan naik dan di mana turun?
Penyelesaian :
f(x) = 6x2+24x+12
f'(x)= 12x+24
f'(x)= 12(x+2)
kita perlu menentukan di mana (x+2) > 0 dan (x+2) <>___(-)_____|_______(+)____ Jadi f(x) naik pada [2,∞) dan turun pada (-∞,2]
-2
3. Untuk f(x)= x2-8x-7, gunakan uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal?
Penyelesaian :
f(x) = x2-8x-7
f'(x) = 2x-8 = 2(x-4)
f''(x) = 2
Jadi f'(4) = 0 dan f”(4) > 0. Karena itu, menurut uji turunan kedua f(4)
adalah nilai minimum lokal
4. f(x) = x2-4x-5
Penyelesaian :
f(x) = x2-4x-5
f”(x) = 2x-4 = 2(x-2)
f”(x) = 2
Jadi f'(2) = 0 dan f”(2) > 0. Karena itu, menurut uji turunan kedua f(2) adalah
nilai
minimum lokal.
5.Buktikan bahwa lim x → ∞ x = 0
8+x2
Penyelesaian : lim x → ∞ x = lim x → ∞ x/x2
8+x2 8+x2/x2
= lim x → ∞ 8/x
8/x2+1
= lim x → ∞ 8/ x
lim x → ∞ 8/x2+ lim x → ∞ 1
= 0 = 0
0+1
6.Cari limit x → -∞ 5x-3 Bagi pembilang dan penyebut dengan x3
1+x3
Penyelesaian :
limit x → -∞ 5x3 = limit x → -∞ 5 = 5 = 5
1+x3 1/x3+1 0+1
7. Selesaikan f(x) = 5x2-3x2-7
Penyelesaian :
f(x) = 5x2-3x2-7
f'(x) = 10x-6x
f”(x) = 10-6 = 4
8. f(x) = x2-8x-25
Penyelesaian :
f(x) = x2-8x-25
f”(x) = 2x-8 = 2(x-4)
f”(x) = 4
Jadi f'(4) = 0 dan f”(4) > 0. Karena itu, menurut uji turunan kedua f(4) adalah
nilai minimum lokal.
Andai kita mengetahui fungsi f dan domain (daerah asal) S. Seperti gambar 1. Tugas kita yang pertama adalah menentukan apakah f memiliki nilai maksimum atau minimum pada S. Anggap bahwa nilai-nilai tersebut ada kita ingin mengetahui lebih lanjut di mana dalam S nilai-nilai itu ada.
Definisi
Andaikan S, daerah asal f, menentukan titik c.kita katakan bahwa:
i.f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c)>f(x) untuk semua x di s.
ii.f(c) adalah nilai minimum f pada s jika f(c)iii.f(c) adalah nilai ekstrim f pada s jika ia adalah nilai maksimum atau minimum.
Maksimum dan Minimum Lokal
Kita ingat kembali bahwa nilai maksimum suatu fungsi f pada himpunan S adalah nilai f terbesar yang dicapai pada keseluruhan himpunan S .Kadang-kadang diacu sebagai nilai maksimum global atau absolut dari f . Jadi, untuk fungsi f dengan daerah asal S = [a,b] yang grafiknya disket dalam gambar 2, f(a) adalah nilai maksimum global dan f (c) kita sebut nilasi maksimum lokal atau relatif.
Tentu saja nilai maksimum global otomatis juga nilai maksiomum lokal. Hal itu berarti bahwa nilai maksimum global hanyalah yang terbesar diantara nilai-nilai maksimum lokal. Dan juga, nilai minimum global adalah yang terkecil diantara nilai- nilai minimum lokal.
Definisi :
Andaikan S daerah asal,f memuat titik c. Kita katakana bahwa:
1.f(c) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a.b) yang memuat c sedemikian sehiungga f(c) adalah nilai maksimum local pada (a.b) S ;
2. f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a.b) yang memuat c sehingga f(c) adalah nilai minimum lokal pada (a.b) S ;
3.f(c) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.
Teorema A
(uji turunan Pertama untuk Ekstrim local). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.
1.Jika f ‘(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) dan f’(x)<>
2.Jika f ‘(x) <> 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f’(c) adalah nilai minimum lokal f
3.Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihjak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim lokal f.
Teorema B
(Uji Tureunan kedua untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ danf’’ pada setiap titik dalam setiap selang terbuka (a,b ) yang memuat c dan andaikan f’(c) = 0
(i) Jika f” (c) <>(ii) Jika f” (c) > 0,f(c) adalah nialai minimum local f
Kemonotonan dan Kececukangan
Definisi :
Misalkan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). Kita katakana bahwa:
(i) f adalah naik pada I jika untuk setiap paqsang bilangan x1 dan x2 dalam I,
x1<>(ii) f adalah turun padad I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,
x1 > x2 f(x1) > f (x2)
(iii) f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.
Teorema A
(Teorema Kemonotonan). Misalkan f kontinu pada selang I dan dap[at dideferensialkan pada setiap tititk dalam dari I.
(i) Jika f ‘(x) > 0 untuk semua tititk dalam x dari I, maka f naik pada I
(ii) Jika f ‘(x) <>Definisi:
Misalkan f terdeferensial pada selang terbuka I (a, b). Jika f naik pada I, f ‘ (dan grafiknya ) cekung keatas. Sedankan, jika f ‘ turun pada I, f cekung kebawah pada I.
Teorema B
(Teorema Kecekungan). Misalkan f terdeferensialkan dua kali pada selang terbuka (a,b).Maka diperoleh:
(i) Jika f ” (x) > 0 untuk semua x dalam (a,b) maka f cekung keatas pada (a,b)
(ii) Jika f ” (x) <> 4.4. Penerapan Masalah-masalah Maksimum dan Minimum
Dalam subbab ini, kita akan membahas perhatian pada masalah maksimum minimum. Ketika kita menghadaqpimasalah seperti ini, ada langkah yang sangat penting yaitu kita harus menentukan besaran yang dimaksimumkan atau diminimumkan. Besaran ini akan menjadi variable tak terbatas dalam menyelesaikan masalah itu.
Variabel tak terbatas ini harus dinyatakan sebagai variable bebas, yang mengontrol nilai- nilai variable tak bebasnya. Jika domain dari nilai-nilai variable tak bebasnyua adalah interval tertutup, maka kita bias memprosesnya dengan menggunakan metode maksimum-minimum interval tertutup. Langkah- langkah menyalesaikannya adalah sebagai berikut :
1. Carilah besaran yang dimaksimumkam atau diminimumkan. Besaran ini seharusnya dinyatakan dengan suatu kata atau frase dan label(huruf) yang merupakan variable tak bebas. Variabel ini tergantung pada suatu yang akan menjadi variable bebas. Kita menotasikannya sama dengan x.
2. Menyatakan Variabel tak bebas sebagai funsi dari variable bebas.Gunakan informasi dalam masalah unhtuk menuliskan variable tak bebas sebagai fungsi variable bebas (x).
3. Menerapkan kalkulus untuk mencari titik kritis. Menghitung turunan f’ dari fungsi f yang diperoleh dalam langkah 2. Gunakan turunan untuk mendapat titik kritis
f’(x) = 0 dan f’(x) tidak ada
4. Identifikassi titk ekstrim. Evaluasi nilai f disetiap titik kritis dalam domainnya dan kedua titik ujungnya. Nilai-nilai yang diperoleh menentuikan maksimum mutlak dan minimum mutlak.
5. Menjawab pertanyaan dalam masalah. Dengan kata lain, interpretasikan hasil-hasil yang diperoleh. Jawaban dari maslah semula bias merupakan suatu yang lain dari nilai terbesar atau terkecil dari f . Berikan jawaban yang tepat untuk pertanyaan yang ditanyakan sebelumnya.
4.5. Penerapan Ekonomik
Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untuk ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembangkan sangat khusus. Sekali kita mempelajari kosakata ini, kita akan menemukan bahwa banyak masalah Ekonomi sebenarnya masalah kalkulus biasa yang berbaju baru.
Pandang sebuah Perusahaan Khas, PT.Honda Motor tbk. Untuk Memudahkan anggap bahwa Perusahaan itu menghasilkan dan memasarkan sebuah barang seprti mobil,motor, dsb. Jika perusahaan tersebut menjual x satuan barang tahun ini , PT. Honda akan mampu membebankan harga, p(x) untuk tiap satuan. Kita tunjukan bahwa p tergantung pada x karena bila mana Honda memperbesar keluarannya , kemungkinan Honda akan perlu mengurangi harga tiap satuan agar dapat menjuakl seluruh hasil keluaraanya. Pendapatan total yang dapat diharapkan Honda diberikan oleh R(x) = xp(x),sebanyak satuan kali harga tiap satuan.
Konsep dasar Untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x),yakni selisih antara pendapatan R(x) dan Biaya Produksi C(x).
P(x) = R(x) – C(x) = xp(x) – C(x)
4.6. Limit diketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Konsep “tak-terhingga”, telah mengilhami dan menggoda para matematikawan sejak jaman dahulu.Masalah yang paling dalam dan paradoks besar dari matematika seringkali jalin menjalin dengan pemakaian perkataan ini. Kemajuan matematika sebagian dapat diukur dalam bentuk pemahaman peranan dari ketakhinggaan. Kita telah memakai lambang - lambing dan - dalam notasi untuk selang - selang tertentu.
Definisi:
1. (Limit bila x )..Andaikan f terdefinisi pada [c, ) untuk suatu bilangan c. Kita katakana bahwa Lim f (x) = L jika masing-masing 0,
x
terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga:
x > M f(x) – L <
2. (Limit bila x - ).Andaikan f terdefinisi pada (- ,c] untuk suatu bilangan c. Kita katakana bahwa Lim f (x) = L jika masing-masing 0, terdapat bilangan M x -
yang berpadanan sedemikian sehingga:
x <>
3. (Limit- limit takterhingga). Kita katakana bahwa Lim f (x) = jika untuk tiap bilangan positif M, Berpadanan suatu > 0 sedemikian sehingga
0 <>M
4.7. Penggambaran Grafik Canggih
Kalkulus telah menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik sewcara baik khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat menempatkan titik-titk maksimum local, titik-titk minimum local, dan titik-titik balik, kita dapat menentukan dimana grafik naik atau grafik cekung keatas.
Dalam menggambar grafik fungsi ada beberapa prosedur yang akan sangat membantu,yaitu :
Langkah 1: Buat analisis pendahuluan sebagai berikut
Periksa daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah dibidang yang dikecualikan.
Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau gannjil? )
Cari perpoptongan dengan sumbu-sumbu koordinat
Gunakan turunan pertama untuk mencari titik kritis dan untuk mengetahui tempat – tempat grafik naik dan turun
Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimumlokal
Gunakan turunan kedua untuk untukmengetahui tempat-tempat grafik cekung keatas dan cekung kebawah serta untuk melokasikan titik-titik balik
Cari asimtot-asimtot.
Langkah 2: Gambarkan beberapa titik (termasuk semuatitik kritis dan titik balik).
Langkah 3: Sketsakan Grafik
4.8 Teorema Nilai Rata-rata
Teorema nilai rata-rata adalah bidang kalkulus tidak begitu penting atau mempesona bagi dia sendiri tetapi sering kali melahirkan teorema-teorema yang cukup berarti.
Dalam bahasa geometri, teorema nilai rata–rata mudah dinyatakan dan dipahami.Teorema mengqatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak vertical pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik antara A dan B sehingga garis singgung titikC sejajar dengan tali busur AB dalam gambar
Teorema A
(Teorema Nilai Rata-rata untuk turunan ).Jika f kontinu pada selang tertutup[a,b] dan terdeferensialkan pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling se4dikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana
f (b ) – f(a) = f ‘(c)
(b – a )
atau
f(b) – f (a ) = f ’(c)(b – a )
Teorema B
Jika F’(x) = G’(x) untuk semua x dalam (a.b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga
F(x) = G (x) + C
untuk semua nilai x dalam (a,b)
1.Carilah nilai maksimum dan minimum!
f(x)= -x2-6x-2;i =(0,4]
penyelesaian : -2x-6
f(0) = -2(0)-6 f(2) = -2(2)-6 f(4) = -2(4)-6
= -6 = -10 = -14
f(1) = -2(1)-6 f(3) = -2(3)-6
= -8 = -12
Jadi nilai maksimumnya ialah (-6) dan nilai minimumnya ialah (-14)
2.Gunakan Teorema kemonotonan untuk mencari di mana fungsi yang diberikan naik dan di mana turun?
Penyelesaian :
f(x) = 6x2+24x+12
f'(x)= 12x+24
f'(x)= 12(x+2)
kita perlu menentukan di mana (x+2) > 0 dan (x+2) <>___(-)_____|_______(+)____ Jadi f(x) naik pada [2,∞) dan turun pada (-∞,2]
-2
3. Untuk f(x)= x2-8x-7, gunakan uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal?
Penyelesaian :
f(x) = x2-8x-7
f'(x) = 2x-8 = 2(x-4)
f''(x) = 2
Jadi f'(4) = 0 dan f”(4) > 0. Karena itu, menurut uji turunan kedua f(4)
adalah nilai minimum lokal
4. f(x) = x2-4x-5
Penyelesaian :
f(x) = x2-4x-5
f”(x) = 2x-4 = 2(x-2)
f”(x) = 2
Jadi f'(2) = 0 dan f”(2) > 0. Karena itu, menurut uji turunan kedua f(2) adalah
nilai
minimum lokal.
5.Buktikan bahwa lim x → ∞ x = 0
8+x2
Penyelesaian : lim x → ∞ x = lim x → ∞ x/x2
8+x2 8+x2/x2
= lim x → ∞ 8/x
8/x2+1
= lim x → ∞ 8/ x
lim x → ∞ 8/x2+ lim x → ∞ 1
= 0 = 0
0+1
6.Cari limit x → -∞ 5x-3 Bagi pembilang dan penyebut dengan x3
1+x3
Penyelesaian :
limit x → -∞ 5x3 = limit x → -∞ 5 = 5 = 5
1+x3 1/x3+1 0+1
7. Selesaikan f(x) = 5x2-3x2-7
Penyelesaian :
f(x) = 5x2-3x2-7
f'(x) = 10x-6x
f”(x) = 10-6 = 4
8. f(x) = x2-8x-25
Penyelesaian :
f(x) = x2-8x-25
f”(x) = 2x-8 = 2(x-4)
f”(x) = 4
Jadi f'(4) = 0 dan f”(4) > 0. Karena itu, menurut uji turunan kedua f(4) adalah
nilai minimum lokal.
- Dapatkan link
- Aplikasi Lainnya
