KALKULUS FUNGSI

kalkulus fungsi

Untuk memahami apa itu fungsi, anggaplah fungsi layaknya sebuah mesin. Jika anda memasukkan bahan mentah ke dalam mesin tersebut, maka mesin tersebut akan mengubah bahan mentah menjadi suatu produk jadi berdasarkan instruksi-instruksi tertentu yang telah ditentukan. Maka, akan ada sebuah system input-output, dimana jika kita memasukkan sebuah input pada fungsi tersebut, maka fungsi akan memberikan outputnya. Sebagai contoh, fungsi pangkat 2 yang kita masukkan angka 4 maka nilai output/keluarannya adalah 16.
Suatu fungsi biasa dilambangkan dengan

f

g

, atau beberapa variabel lainnya – pelambangan ini tidak mutlak.
Contoh, fungsi

f(x)=3x+2\

menjelaskan pada kita bahwa:

Fungsi $f$ adalah fungsi dari $x$
Untuk menghitung nilai fungsi pada angka tertentu, maka ganti $x$ dengan angka tersebut.
$f$ sendiri didefinisikan sebagai, "pada suatu angka tertentu, $f$ akan menghasilkan dua lebihnya dari tiga kali angka tersebut."

Sebagai contoh, jika kita memasukkan angka 3 dalam fungsi f:

f(x)=3x+2\

f(3)=3(3)+2\

Kita menghitung fungsi saat

x=3

f(3)=9+2=11\

Maka nilai dari

f\

pada x=3 adalah 11.

Fungsi konstan	$f(x)=c\,$ Berapapun nilai x yang dimasukkan, hasil keluaran selalu berupa konstanta $c$ , dan merupakan polinomial dengan derajat nol dengan f(x) = cx0= c(1) = c. Grafiknya berupa garis horizontal/vertikal.
Fungsi linear	$f(x)=mx+c\,$ Merupakan polinomial derajat satu dengan grafik berupa garis lurus miring (kecuali jika $m=0$ ).
Fungsi identitas	$f(x)=x\,$ Berapapun nilai x yang dimasukkan, hasilnya tidak berubah. Termasuk polinomial derajat satu, f(x) = x1 = x. Kasus khusus dari fungsi linear.
Fungsi kuadrat	$f(x)=ax^{2}+bx+c\,$ Polinomial derajat dua. Grafiknya berupa parabola, meskipun $a=0$ .
Fungsi polinomial	$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ Bilangan $n$ merupakan derajat polinomial.
Fungsi sepotong-sepotong	$\operatorname {sgn} (x)=\left\{{\begin{matrix}-1&:&x<0\\0&:&x=0\\1&:&x>0.\end{matrix}}\right.$ Digunakan untuk menentukan fungsi apa yang akan digunakan, tergantung dari nilai $x$ yang dimasukkan.

Sifat-sifat fungsi

Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2

\in A

dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).

Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada, fungsi onto atau fungsi surjektif jika dan hanya jika untuk sembarang bdalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b. Dengan kata lain, suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan kisarannya (range).

Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi korespondensi satu-satu, fungsi into, fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

Komposisi fungsi

Ada satu cara untuk menggabungkan fungsi yang tidak bisa dilakukan oleh variabel biasa. Nilai dari sebuah fungsi

f

tergantung dari besar nilai

x

, meski begitu, variabel ini dimasukkan lagi ke dalam fungsi lain

g

, sehingga nilai g tergantung dari variabel ketiga. Jika ini kasusnya, maka variabel pertama adalah fungsi

h

dari variabel ketiga. Fungsi (

h

) disebut sebagai komposisi dari 2 fungsi lainnya (

f

dan

g

). Komposisi fungsi mempunyai tanda:

f\circ g=(f\circ g)(x)=f(g(x))

Dibaca "f dari g dari x."
Contoh

f(x)=3x+2\,

dan

g(x)=x^{2}\,

Maka

{\begin{aligned}h(x)&=f(g(x))\\&=f(x^{2})\\&=3(x^{2})+2\\&=3x^{2}+2\,\end{aligned}}

Disini,

h

merupakan komposisi dari

f

dan

g

dan kita menuliskannya dengan tanda

h=f\circ g

. Perhatikan bahwa komposisi tidak bersifat komutatif:

f(g(x))=3x^{2}+2\,

, dan

{\begin{aligned}g(f(x))&=g(3x+2)\\&=(3x+2)^{2}\\&=9x^{2}+12x+4\,\end{aligned}}

maka

f(g(x))\neq g(f(x))\,

Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat $y = ax^2 + bx + c$ dapat digambarkan ke dalam koordinat kartesius sehingga diperoleh suatu grafik fungsi kuadrat. Sumbu x adalah domain dan sumbu y adalah kodomain. Grafik dari fungsi kuadrat berbentuk seperti parabola sehingga sering disebut grafik parabola.

Grafik dapat dibuat dengan memasukan nilai x pada interval tertentu sehingga didapat nilai y. Kemudian pasangan nilai (x, y) tersebut menjadi koordinat dari yang dilewati suatu grafik. Sebagai contoh, grafik dari fungsi: $f(x) = x^2 - 2x - 3$ adalah:

Jenis grafik fungsi kuadrat lain

1. Grafik fungsi $y = ax^2$

Jika pada fungsi $y = ax^2 + bx + c$ memiliki nilai b dan c sama dengan nol, maka fungsi kuadratnya:

$y = ax^2$

Pada grafik fungsi ini akan selalu memiliki garis simetris pada x = 0 dan titik puncak y = 0. Sebagai contoh $f(x) = 2x^2$ , maka grafiknya adalah:

2. Grafik fungsi $y = ax^2 + c$

Jika pada fungsi $y = ax^2 + bx + c$ memiliki nilai b = 0, maka fungsi kuadratnya sama dengan:

$y = ax^2 + c$

Pada fungsi ini grafik akan memiliki kesamaan dengan grafik fungsi kuadrat $y = ax^2$ yaitu selalu memiliki garis simetris pada x = 0. Namun, titik puncaknya sama dengan nilai c atau $y_{puncak} = c$ . Sebagai contoh = $2x^2$ + 2, maka grafiknya adalah:

3. Grafik fungsi $y = a(x-h)^2 + k$

Grafik ini merupakan hasil perubahan bentuk dari $y = ax^2 + bx + c$ . Pada fungsi kuadrat ini grafik akan memiliki titik puncak (x, y) sama dengan (h, k). Hubungan antara a, b, dan c dengan h, k sebagai berikut:

$(h, k) = [- \frac{b}{2a}, - (\frac{b^2 - 4ac}{2a})]$

Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat

a. Grafik terbuka

Grafik $y = ax^2 + bx +c$ dapat terbuka ke atas atau ke bawah. Sifat ini ditentukan oleh nilai a. Jika $a> 0$ maka grafik terbuka ke atas, jika $a <$ maka grafik terbuka kebawah.

sifat grafik fungsi kuadrat kurva terbuka

b. Titik Puncak

Grafik kuadrat mempunyai titik puncak atau titik balik. Jika grafik terbuka kebawah, maka titik puncak adalah titik maksimum. Jika grafik terbuka keatas maka, titik puncak adalah titik minimum.

c. Sumbu Simetri

Sumbu simetri membagi grafik kuadrat menjadi 2 bagian sehingga tepat berada di titik puncak. Karena itu, letaknya pada grafik $ax^2 + bx + c$ berada pada:

$x =-\frac{a}{2a}$

d. Titik potong sumbu y

Grafik $y = ax^2 + bx + c$ memotong sumbu y di x = 0. Jika nilai x = 0 disubstitusikan ke dalam fungsi, diperoleh y = c. Maka titik potong berada di (0, c).

e. Titik potong sumbu x

Grafik kuadrat akan memotong sumbu x di y = 0, sehingga membentuk persamaan:

$ax^2 + bx + c$

Akar-akar dari persamaan tersebut adalah absis dari titik potong. Oleh karena itu, nilai diskriminan (D) berpengaruh pada keberadaan titik potong sumbu x sebagai berikut:

Jika $D>0$ , grafik memotong sumbu x di dua titik
Jika $D=0$ , grafik menyinggung sumbu x
Jika $D<0$ , grafik tidak memotong sumbu x

Jika digambarkan, sebagai berikut:

titik potong sumbu x berdasarkan diskriminan

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dibentuk dengan syarat:

Diketahui tiga titik koordinat (x, y) yang dilalui oleh grafik

Ketiga koordinat tersebut, masing-masing disubstitusikan kedalam persamaan grafik:

$y = ax^2 + bx + c$

Sehingga didapat tiga persamaan berbeda yang saling memiliki variabel a, b dan c. Selanjutnya dilakukan teknik eliminasi aljabar untuk memperoleh nilai dari a, b dan c. Setelah diperoleh nilai-nilai itu, kemudian masing-masing disubstitusikan ke dalam persamaan $y = ax^2 + bx + c$ sebagai koefisien.

Diketahui titik potong dengan sumbu x dan satu titik yang dilalui

Jika titik potong sumbu x adalah $(x_1,0)$ dan $x_2,0$ , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:

$y = a(x - x_1)(x - x_2)$

Dengan nilai a didapat dari mensubstitusikan titik (x, y) yang dilalui.

Diketahui titik puncaknya dan satu titik yang dilalui

Jika titik puncaknya adalah $(x_p,y_p)$ , maka rumus fungsi kuadrat nya adalah:

$y = a(x - x_p)^2 + y_p$