LIMIT FUNGSI e

-

 Pengertian Limit Matematika

Limit Matematika adalah suatu konsep dalam ilmu matematik yang biasa digunakan untuk menjelaskan suatu sifat dari suatu fungsi, saat agumen telah mendekati pada suatu titik tak terhingga atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga.
Limit biasa dipakai pada kalkulus dan cabang lainnya dari analisis matematika untuk mencari turunan dan lanjutan.
Pada pelajaran matematika, limit biasanya mulai dipelajari saat pengenalan terhadap kalkulus dan untuk memahami konsep limit secara menyeluruh bukan sesuatu yang mudah untuk dikerjakan.

Limit sebuah fungsi

Apabila  f(x) merupakan fungsi real dan c adalah bilangan real, maka bentuk rumusnya yaitu:
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
maka sama dengan f(x) dapat dibuat agar mempunyai nilai sedekat mungkin dengan L dengan cara membuat nilai x dekat dengan c.
Pada contoh diatas, limit dari f(x) apabila x mendekati c, yaitu L. Perlu kita ingat, bahwa kalimat sebelumnya berlaku, meskipun f(c) {\displaystyle \neq } L. Bahkan, fungsi pada f(x) tidak perlu terdefinisikan lagi pada titik c. Berikut adalah kedua contoh dibawah ini yang menggambarkan sifat.
Sebagai contoh:
{\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}} pada saat x mendekati nilai 2. Didalam contoh ini, f(x) mempunyai definisi yang jelas pada titik ke-2 dan nilainya sama dengan limitnya, yaitu 0.4:

f(1.9)f(1.99)f(1.999)f(2)f(2.001)f(2.01)f(2.1)
0.41210.40120.4001{\displaystyle \Rightarrow } 0.4{\displaystyle \Leftarrow }0.39980.39880.3882
Apabila semakin x mendekati 2, maka nilai f(x) mendekati 0.4, dan sebab itu {\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=0.4}.
Dalam kasus di mana {\displaystyle f(c)=\lim _{x\to c}f(x)}, f disebut kontinyu pada x = c. Namun, kasus ini tidak selalu berlaku. Sebagai contoh:
{\displaystyle g(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{if}}x\neq 2\\\\0,&{\mbox{if}}x=2.\end{matrix}}\right.}
Limit g(x) pada saat x mendekat 2 ialah 0.4 (sama seperti f(x), namun {\displaystyle \lim _{x\to 2}g(x)\neq g(2)}: g tidak kontinyu pada titik x  =  2.
Atau bisa juga diambil contoh di mana f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = c: {\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}}
Pada contoh ini, pada saat x mendekati 1, f(x) tidak terdefinisikan pada titik x = 1 namun limitnya sama tetap dengan 2, karena semakin x mendekati 1, maka f(x) semakin mendekati 2:
f(0.9)f(0.99)f(0.999)f(1.0)f(1.001)f(1.01)f(1.1)
1.951.991.999{\displaystyle \Rightarrow }2{\displaystyle \Leftarrow }2.0012.0102.10
Kesimpulannya:
Maka x dapat dibuat sedekat mungkin dengan 1, asal bukan persis sama dengan 1, oleh karena itu limit darif(x)}{\displaystyle f(x)} ialah 2.

Definisi formal tentang Limit

Definisi formal Limit didefinisikan  apabila {\displaystyle f} ialah fungsi yang terdefinisikan pada sebuah interval terbuka yang mengandung sebuah titik {\displaystyle c} (dengan kemungkinan pengecualian pada titik {\displaystyle c}) dan {\displaystyle L} merupakan bilangan real,
maka: {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
Artinya bahwa untuk setiap {\displaystyle \varepsilon \ >0} didapati {\displaystyle \delta \ >0} yang untuk semua {\displaystyle x} di mana {\displaystyle 0<|x-c|<\delta \ }, maka berlaku {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon \ }.

Limit Sebuah Fungsi pada Titik Tak Terhingga

Konsep limit saat x mendekati tak terhingga, baik positif ataupun negatif ialah konsep yang berkaitan dengan limit saat x mendekati sebuah angka.  Ini bukanlah berarti selisih antara x dan tak terhingga menjadi kecil, karena tak terhingga bukanlah sebuah bilangan. Namun artinya yaitu x menjadi sangat besar untuk tak terhingga atau sangat kecil untuk tak terhingga yang negatif.
Contohnya, lihatlah: {\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x+1}}}.
  1. f(100) = 1.9802
  2. f(1000) = 1.9980
  3. f(10000) = 1.9998
Yaitu semakin x bertambah besar, maka nilai f(x)nya mendekati 2. Dalam contoh diatas, dapat dikatakan bahwa:
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=2}

Limit barisan

Perhatikanlah barisan berikut: 1.79, 1.799, 1.7999 …
Kita dapat amati bahwa angka-angka tersebut mendekati angka 1.8 yaitu limit dari barisan tersebut.
Secara formal, misalnya x1, x2, … ialah barisan bilangan riil. Kita menyebut bilangan riil (L) sebagai limit barisan ini dan menuliskannya sebagai:
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}
yang itu berarti: Untuk setiap bilangan riil ε > 0 terdapat sebuah bilangan asli n sehingga untuk semuanya: n > n, |xn − L| < ε.
Secara Intuitif berarti bahwa pada akhirnya semua elemen barisan tersebut akan mendekat sebagaimana yang telah kita kehendaki terhadap limit, karena nilai absolut |xn − L| ialah jarak antara x dan L.
Tidak semua barisan memiliki limit. Jiks ada, kita menyebutnya sebagai konvergen, jika tidak, disebut divergen. Barisan konvergen dapat ditunjukkan bahwa hanya memiliki satu limit.
Limit barisan dan limit fungsi saling berkaitan erat. Pada satu sisi, limit barisan hanyalah merupkan limit pada tak terhingga dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bilangan asli. Namun di sisi lain, limit sebuah fungsi f pada x, bila ada, sama dengan limit barisan xn = f(x + 1/n).

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

TURUNAN KEDUA

-
Gambar
Turunan kedua  ( second derivative  atau  second order derivative ), dalam  kalkulus , dari suatu  fungsi   f  adalah  turunan atau derivatif dari turunan  f . Secara kasar dikatakan bahwa turunan kedua mengukur bagaimana laju perubahan suatu kuantitas itu sendiri berubah; misalnya, turunan kedua dari posisi suatu kendaraan terhadap waktu adalah  percepatan  instan kendaraan itu, atau laju perubahan  kecepatan  kendaraan itu. Pada  grafik suatu fungsi , turunan kedua bersangkutan dengan  curvature  atau concavity grafik. Grafik suatu fungsi dengan turunan kedua positif melengkung ke atas, sementara grafik suatu fungsi dengan turunan kedua negatif melengkung ke bawah. ATURAN DAYA TURUNAN KEDUA Aturan daya bagi turunan pertama, jika dihitung sedikit, akan menghasilkan aturan daya turunan kedua. Aturan itu diberikan sebagai berikut: NOTASI   CONTOH SOAL :  
Baca selengkapnya

KALKULUS FUNGSI

-
Gambar
kalkulus fungsi        Untuk memahami apa itu fungsi, anggaplah  fungsi  layaknya sebuah mesin. Jika anda memasukkan bahan mentah ke dalam mesin tersebut, maka mesin tersebut akan mengubah bahan mentah menjadi suatu produk jadi berdasarkan instruksi-instruksi tertentu yang telah ditentukan. Maka, akan ada sebuah  system input-output , dimana jika kita memasukkan sebuah  input  pada fungsi tersebut, maka fungsi akan memberikan  output nya. Sebagai contoh, fungsi pangkat 2 yang kita masukkan angka 4 maka nilai output/keluarannya adalah 16.  Suatu fungsi biasa dilambangkan dengan  ,  , atau beberapa variabel lainnya – pelambangan ini tidak mutlak.  Contoh, fungsi   menjelaskan pada kita bahwa:  Fungsi   adalah fungsi dari  Untuk menghitung nilai fungsi pada angka tertentu, maka ganti   dengan angka tersebut.  sendiri didefinisikan sebagai, "pada suatu angka tertentu,   akan menghasilkan dua lebihnya dari tiga kali angka tersebut." Sebagai contoh, jika kita memasuk
Baca selengkapnya

PERTDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

-
Gambar
Pertidaksamaan Nilai Mutlak Nilai mutlak suatu bilangan real x merupakan jarak antara bilangan itu dengan nol pada garis bilangan. Dan dilambangkan dengan  │ x │ . Secara formal nilai mutlak didefinisikan: Pengantar Nilai Mutlak Fungsi nilai mutlak merupakan fungsi yang kontinu. Jika kita gambarkan dalam bentuk grafik, gambar grafik fungsi nilai mutlak membentuk garis lurus, seperti membentuk huruf v pada interval tertentu. Grafik yang dihasilkan memiliki satu buah titik puncak dan garisnya simetris, antara ruas kanan dan kiri. Perhatikan gambar grafik nilai mutlak yang diberikan seperti gambar di bawah ini. Dan seperti yang terlihat pada kasusu di atas bahwa nilai fungsi nilai mutlak selalu positif (di atas sumbu x). Sifat-Sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak Untuk mengambil nilai mutlak dari persamaan nilai mutlak cukup mudah. Dengan mengikuti 2 aturan penting seperti yang telah dibahas sebelumnya sudah dapat menentukan nilai mutlaknya. Jadi, nilainya
Baca selengkapnya