LIMIT FUNGSI ALJABAR

A. Konsep Limit Fungsi Aljabar

Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang dekat namun tidak dapat dicapai. Dalam bahasa matematika, keadaan ini dapat disebut limit.

Dalam bahasa matematika, limit dituliskan dengan:

Maksudnya, apabila x mendekati a namun x tidak sama dengan a maka f(x) mendekati L.

Pengertian tentang limit di atas dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini.

Untuk nilai x yang mendekati 1

Berikut gambar grafiknya:

Berdasarkan gambar grafik diatas dapat dijelaskan:

§ Apabila x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2

§ Apabila x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2

§ Jadi, apabila x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2

B. Sifat-sifat Limit Fungsi Aljabar

Apabila n merupakan bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifat di bawah ini berlaku.

C. Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar

Ada 2 bentuk dalam menentukan limit fungsi aljabar yaitu:

Bentuk pertama

Bentuk kedua

Dalam hubungannya dengan bentuk limit yang pertama ada beberapa metode dalam menentukan nilai limit fungsi aljabar yaitu dengan cara substitusi dan cara pemfaktoran.

1. Cara Substitusi

Cara substitusi ini langkahnya dengan mengganti peubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya. Berikut adalah beberapa contoh yang dapat dipahami.

Contoh :

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

2. Cara Pemfaktoran

Cara pemfaktoran digunakan apabila cara substitusi menghasilkan nilai limit yang tidak terdefinisikan seperti pada contoh berikut:

Contoh :

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

3. Metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut

contoh 1:

Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari

Besar pangkat pembilang  dan penyebut dalam soal ini adalah 2, maka

Jadi, nilai dari limit fungsi aljabar tersebut,

4. Metode mengalikan dengan faktor sekawan

 Contoh soal:

Tentukan nilai limit dari

Langkah awal yang perlu dilakukan untuk menentukan nilai suatu limit yaitu dengan mensubtitusikan x=c ke f(x), sehingga dalam kasus ini substitusikan
x=4 ke 

Setelah disubstitusikan ternyata nilai limit tersebut tidak terdefinisi atau merupakan bentuk tak tentu. Maka dari itu untuk menentukan nilai suatu limit harus menggunakan metode lain.  Apabila diperhatikan, pada f(x) terdapat bentuk akar yaitu sehingga metode perkalian dengan akar sekawaran dapat dilakukan pada kasus seperti ini.

Bentuk dapat difaktorkan menjadi 

Jadi, nilai limit fungsi aljabar tersebut adalah -4

Diposting oleh Contoh Tugas Kalkulus di 03.15 Tidak ada komentar: 

Sabtu, 30 Maret 2019

Notasi Fungsi

Untuk memberikan nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F). Oleh karena itu, f(x) dibaca “f dari x” atau “f pada x” menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika f(x)=x3−4 maka f(1)=13−4=−3.

Macam – macam Fungsi

·        MACAM-MACAM FUNGSI

1.    Menurut Sifatnya

2.    Fungsi Ke dalam (Into)

Fungsi satu-satu/ fungsi into/ fungsi injektif f : A B disebut fungsi satu-satu jika setiap anggota A mempunyai bayangan yang berbeda, dengan kata lain tidak ada dua anggota A yang mempunyai bayangan yang sama didalam B. Jadi jika f(a1) = f(a2) maka a1 = a2 atau jika a1 a2 maka f(a1) f(a2).

2.    Fungsi Kepada (Surjektif)

Misalkan f : A B maka range f(A) B. Jika f(A) = B, yaitu setiap y B ada x A sehingga f(x) = y, maka f disebut fungsi pada/ surjektif dari A ke B.

1.    Menurut Jenis dan Fungsinya

2.    Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar adalah fungsi yang aturannya meliputi operasi aljabar (tambah, kurang, kali, bagi, akar, dan pangkat).

·        Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan bulat . fungsi rasional meliputi :

·        Fungsi Polinom

Fungsi polinom merupakan fungsi suku banyak bentuknya

f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 +…..+ a₂x² + a₁x + a₀

 dengan  a_n ≠ 0

a₀ = suku tetap

a_n , a_n-1 , …..a, a₀ = bilangan real

contoh fungi polinom : 2x³+ 4x² +6x-5

5x² + 4x -8       dst

·        Fungsi Kubik

Fungsi kubik adalah fungsi yang berpangkat tiga.

Bentuknya f(x) = ax³ + bx² +cx + d

dengan a≠ 0

Contohnya fungsi kubik : x³ + 2x² + 5x +6

·        Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi yang variabelnya berpangkat 1 dan grafiknya merupakan garis lurus.

Bentuknya y = f(X) = ax + b dimana : a dan b = konstanta dan a≠ 0

Contoh dari fungsi linear: y = x+3

Langkah- langkah melukis fungsi grafik linear:

1.    Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1 ,0)

2.    Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B (0, y1)

3.    Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus.

·        Fungsi Pecahan

Bentuk umum fungsi pecahan adalah

Fungsi pecahan yang dijelaskan di sini adalah fungsi pecahan linear dan fungsi pecahan kuadrat.

1.    Fungsi pecahan linear dan kuadrat 

·        Fungsi Irrasional

Fungsi irrasional adalah fungsi yang variabel bebasnya terdapat di bawah tanda akar. 

2.    Fungsi Transenden

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar.

·        Fungsi Goneometri

Contoh: y = f(x) = 2 sin 3x + 12

·        Fungsi Eksponen

Contoh: f(x) = 12^x

·        Fungsi Logaritma

Contoh: f(x) = 5log3x

·        Fungsi Siklometa

Contoh: f(x) = arc sin x

3.    Fungsi Mutlak

Fungsi Mutlak adalah suatu fungsi yang aturannya memuat nilai mutlak suatu bilangan real x,dinyatakan dengan |x|,didefinisikan sebagai

|x| =

4.    Fungsi dengan Parameter

Fungsi bentuk parameter merupakan fungsi y = f(x) yang disajikan dengan sepasang persamaan : dengan t suatu parameter, maka untuk memperoleh dari sistem persamaan tersebut adalah dengan diasumsikan y sebegai fungsi komposisi

1.    Menurut Letak Variabelnya

2.    Fungsi Implisit

Fungsi Implisit merupakan lawan dari fungsi eksplisit jadi pada fungsi implisit perbedaan antar variabel bebas dan variabel tidak bebas tidak dapat dibedakan dengan jelas. Contohnya: f(x,y)= 3x + 4y

2.    Fungsi Eksplisit

Fungsi Eksplisit y terhadap x adalah fungsi dengan aturan y=f(x) yang memasangkan setiap unsur di daerah asalnya dengan tepat satu unsur di daerah nilainya. Contohnya: y = 2x-5

1.    Fungsi-Fungsi Khusus

2.    Fungsi Identitas

f : A      A dengan f(x) = x disebut fungsi satuan jika f memetakan setiap titik anggota A ke dirinya sendiri.

2.    Fungsi Konstan

Misalkan f: A     B. Fungsi f disebut fungsi konstan jika setiap anggota A dipetakan ke satu anggota B yang sama. Jadi jika x elemen A, maka f(x) = c (konstan)

3.    Fungsi Komposisi

Jika fungsi f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), maka dikatakan bahwa kita telah mengkomposisikan g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut kompoosisi g dengan f, yang dinyatakan dengan g°f. Jadi (g°f)(x) = g(f(x))

Sifat fungsi komposisi tidak komulatif f°g ≠g°f